sábado, 24 de março de 2012

SOBRE: Dedutivismo, Formalismo, Intuicionismo e Realismo.


O texto que segue tem a intenção de apresentar os conceitos de Dedutivismo, Formalismo, Intuicionismo e Realismo segundo as filosofias matemáticas, destacando os pontos de contato e separação entre elas. Não obstante, pretende ainda suscitar alguns elementos históricos que auxiliarão na compreensão das questões relativas às filosofias matemáticas ora enunciadas.
Quando tratamos de objetos matemáticos, faz-se necessário apontar alguns elementos essenciais no trato com o conhecimento dessas questões, a saber, Segundo Mondini (2007, pág. 2),

o que justifica a estruturação da Matemática como Ciência? A necessidade de respostas para essa pergunta deu início à sistematização do conhecimento que hoje chamamos de Matemática. A busca de fundamentos para estruturar a Matemática com o rigor de uma ciência iniciou- se com os gregos, mais especificamente com Platão.

De acordo com o platonismo[1] ou realismo, os objetos matemáticos são entidades reais, sua existência é um fato objetivo e independente do nosso conhecimento; um cientista não pode inventar nada, porque tudo já existe, o que ele pode fazer é descobrir. Portanto, o realismo, que tem fundamento no platonismo, argumenta que os objetos matemáticos existem, são abstratos e independentes da mente humana.
Na República V, pág. 201-202, Platão admite e contrapõe “o que é” (conhecimento) e “o que não é” (ignorância) e ainda compreende a existência de um intermediário entre estes dois (a opinião) que diz respeito aos objetos físicos (MACLARTY, 2005, pág. 4). Platão argumenta da seguinte maneira na República: Diz Sócrates: “A ciência se refere ao ser, ou seja, conhece o que é” (...) “A opinião, assim dizemos, capta as aparências” (...) Logo, se o ser é cognoscível, aquilo que é opinável deve representar alguma coisa diversa do ser”.
No final do século XIX, inicia-se grande debate em torno dos fundamentos da matemática e, nesse ínterim dois nomes se destacam, a saber, Gottlob Frege, com o seu programa lógico-matemático e Bertrand Russell, que tal como Frege, pretendia fundar toda a matemática na lógica e nos seus axiomas constituídos por termos indefinidos.
Já no intuicionismo ou Conceptualismo quando nos referimos aos objetos matemáticos é factível que eles existem, que são abstratos, porém não são independentes da mente humana. O Intuicionismo procurava sistematizar a matemática a partir da intuição, os objetos matemáticos eram elaborações humanas e não objetos ideais como pretendia o platonismo. Ademais, segundo Mondini (2007), o que fundamentava o movimento intuicionista era a consideração de que as entidades abstratas existiam somente quando eram construídas pela mente humana. Desse modo, o que não partisse da intuição não era Matemática (pág. 5). Nesse sentido,

Leopold Kronecker foi, talvez, o primeiro intuicionista. As suas ideias formuladas no fim do séc. XIX são acima de tudo uma reação ao programa logicista. Mais tarde, em 1912, Jan Brouwer é o primeiro a elaborar um sistema filosófico intuicionista sistematizando as suas posições filosóficas em diferentes revistas. Apesar de estas entrarem em contradição com o teor dos seus trabalhos matemáticos propriamente ditos (tal como as de Kronecker) não deixam de ser relevantes para a filosofia da matemática (CASTRO, 2001, pág. 2)

O formalismo ou nominalismo faz referencia a construção de objetos matemáticos. Nessa corrente, os objetos matemáticos apresentam relação antagônica quando contrapostos aos objetos matemáticos no realismo. Segundo o formalismo, não existem objetos matemáticos, a matemática consiste apenas em axiomas, definições e teoremas, ou seja, em fórmulas. O formalismo pretendia provar que as idéias matemáticas são isentas de contradições e que através de uma simbolização, seguida de regras bem elaboradas a matemática conseguiria fugir destas contradições. Ademais, a filosofia base para o formalismo era o nominalismo. O formalismo estabelece a matemática como a ciência dos sistemas formais (MONDINI, 2007, pág. 8).


A escola formalista, criada por volta de 1910 por David Hilbert, tinha por objetivo encontrar uma técnica matemática por meio da qual se pudesse demonstrar, de uma vez por todas, que a Matemática estava livre de contradições. Numa palavra,  Hilbert propunha fazer a demonstração matemática da consistência da Matemática clássica. Mas, para tal, tinha que utilizar argumentos puramente finitários que Brouwer não pudesse rejeitar (EDUC)

No dedutivismo, os objetos da matemática aparecem como busca, como entendimento, refere-se a uma instância intermediária (metaxu). O dedutivismo encara-se enquanto uma teoria que não está baseada numa verdade absoluta, mas efetivamente, relativa. A matemática usa predominantemente processos dedutivos de raciocínio, a proposição matemática é demonstrada quando a deduzimos de proposições já admitidas como verdadeiras, quando fazemos ver que a conclusão decorre necessariamente das proposições colocadas anteriormente. Mas a dedução matemática não se confunde com a dedução lógica, pois a matemática manipula símbolos capazes de se transformarem uns nos outros ou de se substituírem, revelando relações sempre imprevistas, o que pode tornar a dedução matemática mais fecunda. O mesmo não acontece com a dedução lógica (Aristóteles).

REFERÊNCIAS

CASTRO, Eduardo. Divulgação e Filosofia da Ciência na obra de Henri Poincaré. Lisboa, Faculdade Ciências e Tecnologia – Universidade Nova de Lisboa, 2001.  
LINNEBO, Oystein. Platonismo com respeito à matemática. Universidade de Bristol, 2009.
MACLARTY, Colin. Mathematical Platonism Versus Gathering the Dead: What Socrates teaches Glaucon, Philosophia Mathematica (III), 13 (2005), 115 – 134.
MONDINI, Fabiane. O Logicismo, o Formalismo e o Intuicionismo e seus diferentes modos de pensar a matemática. 2007.
PLATÃO. A República. Coleção grandes obras do pensamento universal – 4 e 5. São Paulo: Editora Escala. 2º edição, 2007.
SITE-EDUC. http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/fundmat/formalismo.htm; acessado em 27 de setembro de 2011, às 16h24min.



[1] Aqui é importante ressaltar que não nos referimos a Platão.

Jeimison Macieira
Disciplina: Lógica II

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